有限元分析時是網(wǎng)格畫的越細越精確嗎？
誠然網(wǎng)格畫到無窮小，剛度矩陣無窮大，但這樣沒法計算，那網(wǎng)格畫到什么層度精度最高？
眾所周知，網(wǎng)格是有限元分析非常重要的一部分，結構離散后的網(wǎng)格質量直接影響到求解時間及求解結果的正確性,那網(wǎng)格畫到什么層度精度最高？
元王小編認為在單元選用合理、計算假設合理、網(wǎng)格劃分合理的前提下，單元數(shù)量越多，結果越接近理論解。
很多時候，提高單元數(shù)量對于計算精度的提高，遠遠比不過選用更好更合理的單元類型。對于不同的求算對象，所需要的單元數(shù)量也不相同。一般來說，求算應力需要比求算位移更多的單元，而求算剪應力需要比正應力更多的單元。
舉一個常見小例子，平面應力問題，計算一根懸臂梁的變形和應力：
懸臂梁的寬度為1，彈性模量30000，泊松比0.3，自由端承受豎向荷載100。求解A點的豎向位移、B點的正應力、C點的剪應力。
分別選用不同類型的四種單元計算，包括三節(jié)點三角形 CSTG、六節(jié)點三角形 LST、四節(jié)點四邊形 IPLQ、八節(jié)點四邊形 IPQQ。
首先計算位移和應力的理論解：
A 點的豎向位移為0.895，B 點的正應力為90，C 點的剪應力為7.5。
然后分別用不同數(shù)量的四種單元進行比較計算，所用軟件為 GT STRUDL，單元名稱按照 GT STRUDL 的命名，計算結果是這樣的：
隨著單元數(shù)量的增多，位移、正應力和剪應力結果都趨近于理論解。
對于不同的單元類型，趨近理論解的速度完全不同。同樣是32個單元，CSTG 的位移結果是0.5072，正應力是33.11，與真實解 0.895 和 90 相差甚遠。而32個單元的 LST 結果為0.8978和88.68，已經(jīng)很接近于理論解 0.895 和 90。
同樣是64個單元，IPLQ 的結果為 0.8715 、89.52，而 IPQQ 的結果則達到了 0.8999、90.01，可以說正應力結果已經(jīng)非常非常接近理論解。
如果比較一下四邊形單元的結果和三角形單元的結果，差異更加明顯。對于位移結果來說，2000個CSTG單元的精度也比不上4個IPQQ單元的精度。
如果橫坐標為單元數(shù)量，縱坐標為計算結果，繪制一張收斂圖像的話，對于位移來說是這樣的：
對于這四種單元類型，要想達到類似的可以接受的精度水平，需要的單元數(shù)量完全不同。
根據(jù)上面的分析，想要得到精度可以接受的計算結果，CSTG 需要2000多個單元，而 IPQQ 僅需要64個。
所以結論就是，提高單元數(shù)量的確會提高計算精度，但前提是單元類型合理高效。對于提高精度來說，更合理的方法是選用更好的單元，而不是盲目的提高單元數(shù)量。
PS：Abaqus 的官方幫助文檔里同樣舉了類似的例子，比較了同樣的懸臂梁不同單元、不同網(wǎng)格下的梁端位移的計算結果，結論也是類似的。
Abaqus 的結果如下：
不同單元在四種網(wǎng)格尺寸（1x6、2x12、4x12、8x24）下的計算結果與理論解的比值
CPS4：0.074，0.242，0.242，0.561
CPS8：0.994，1.000，1.000，1.000
CPS4R：20，1.308，1.051，1.012
CPS8R：1.000，1.000，1.000，1.000
