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非線性分析的時(shí)間步問題，你知道嗎？

 做非線性分析的都知道時(shí)間步的問題，這里來談?wù)勔恍┳⒁夂突靖拍?。?jiǎn)單地說，在解非線性問題的時(shí)候，我們把整個(gè)求解過程分成小段。對(duì)于結(jié)構(gòu)問題，這種分段等同于把加載過程分成多個(gè)步，每步結(jié)構(gòu)加載變化一點(diǎn)，直到完成整個(gè)加載過程。如果是動(dòng)力問題，那么這個(gè)加載步可以理解為真正的時(shí)間區(qū)間（但也不一定，因?yàn)榭梢杂凶硬剑Ｈ绻庆o力問題，這個(gè)加載步就是很多求解器所謂的偽時(shí)間步。　　

 容易混淆的概念是，劃分時(shí)間步這個(gè)計(jì)算步驟在原則上是和牛頓迭代無關(guān)的。因?yàn)榕ｎD迭代是在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)進(jìn)行的子循環(huán)。直到迭代滿足收斂條件，計(jì)算才向下一步進(jìn)行。這個(gè)過程圓環(huán)套圓環(huán)娛樂城的過程，導(dǎo)致了非線性求解的一系列特點(diǎn)和麻煩。　　

 第一，收斂標(biāo)準(zhǔn)的問題。這個(gè)本質(zhì)上是牛頓法需要探討的，但是因?yàn)闀r(shí)間步必須解決這個(gè)難點(diǎn)，所以在這里需要說說。在固體力學(xué)里面，收斂標(biāo)準(zhǔn)一般是三種，簡(jiǎn)稱為UPW，分別指位移(U)，加載(P)，和做功(W)。每個(gè)量的收斂條件，本質(zhì)都是衡量所在迭代步的相對(duì)誤差。理論上講，必須三個(gè)量都收斂才能保證計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定和精確，但是如果根據(jù)問題可以放松，那么常用的量至少要保證U和P收斂。　　

 第二，時(shí)間步的劃分問題。加載步多了求解時(shí)間長(zhǎng)，少了不準(zhǔn)確或者根本不收斂（因?yàn)榕ｎD法本質(zhì)上只能求局部不動(dòng)點(diǎn)），所以時(shí)間步的劃分是個(gè)藝術(shù)。這個(gè)問題沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，只能說視具體情況而定。如果你的問題不太難，求解器自帶的自適應(yīng)算法應(yīng)該能夠自動(dòng)調(diào)整步長(zhǎng)。靜力自適應(yīng)算法的本質(zhì)，是計(jì)算到目前為止的時(shí)間步的收斂模式。簡(jiǎn)單地說，如果求解器發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在這步收斂得快，那么下一步步長(zhǎng)就可以放寬點(diǎn)，如果收斂得慢或者搞不定，那么就得縮小步長(zhǎng)?；旧鲜莻€(gè)猜猜猜的過程。　　

 第三，動(dòng)力問題時(shí)間步的問題。和靜力問題不同，動(dòng)力問題有“真正”的時(shí)間，需要進(jìn)行時(shí)間積分，所以時(shí)間步的劃分是根據(jù)積分算法來決定的。而積分算法應(yīng)該根據(jù)具體問題來選擇。常用的算法，固體和結(jié)構(gòu)分隱式和顯式：隱式基本上都在Newmark和HHT上玩系數(shù)，目的是保證精確性但又濾掉高頻的信號(hào)，而顯式基本上就是保證時(shí)間步盡量大但又不大到影響穩(wěn)定。流體基本上都是在Runge-Kutta和各種向后積分法中求穩(wěn)定。所以當(dāng)積分法定了，時(shí)間步的選擇的大方向也就定了。普通用戶在這個(gè)時(shí)候可以和精力情形一樣，寄希望于自適應(yīng)算法。動(dòng)力問題的時(shí)間步自適應(yīng)基本上分兩類。一類是調(diào)整步長(zhǎng)以適應(yīng)特定的結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率，一類是調(diào)整步長(zhǎng)以適應(yīng)特定的積分誤差。　　

 第四，多尺度的問題。下面這三類常見問題，對(duì)于時(shí)間步的決定都是讓人頭疼的，本質(zhì)上都是因?yàn)橛锌臻g/時(shí)間多尺度的特點(diǎn):接觸問題（固體），湍流問題（流體），激波問題(固體和流體）。工程上解決的方式，本質(zhì)上都是給模型添加穩(wěn)定性，即所謂的數(shù)值減振／衰減。這里面問題就太多，以后慢慢聊。

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